Greşeli fecunde
Rating:
Voturi: 5
Despre ce fel de greşeli este vorba?
Am observat că de multe ori mari idei, texte care deschid drumuri noi, conţin greşeli, dar nu atât de grave încât să anuleze sau măcar să micşoreze caracterul de pionierat al ideilor respective. Dimpotrivă, aceste greşeli apar ca un ingredient aproape inevitabil al noutăţii propuse. Explicaţia ar fi următoarea: o idee de o mare noutate comportă, în prezentarea ei, o anumită stângăcie, o dificultate de limbaj, o tatonare, o nesiguranţă şi, deci, o ezitare, acestea confiscă atenţia autorului şi, ca urmare, apar greşeli în partea care beneficiază mai puţin sau deloc de atenţie.
Un alt fenomen, dar strâns legat de cel de mai sus, pe care ne propunem să-l ilustrăm este capacitatea unor greşeli de a ascunde adevărate mine de aur, în sensul că acolo unde ele se produc se află, potenţial, punctul de plecare al unor noi drumuri interesante, al unor noi domenii sau noi importante rezultate.
Acest lucru este şi el de înţeles, este chiar de aşteptat, deoarece atunci când un mare om de ştiinţă (cum va fi cazul în exemplele pe care le vom da) greşeşte, este foarte plauzibil că faptul a avut loc acolo unde se află anumite capcane, anumite situaţii mai dificile, mai delicate, de o semnificaţie mai profundă, care, deci, pentru ca să nu ne scape, cer o atenţie mărită. Greşeala are, în acest caz, o funcţie de semnalizare, de advertisment. Aţi observat, în trafic, semnul care anunţă conducătorilor de vehicule apropierea unei cotituri periculoase? Acest semnal a fost preluat, într-un celebru tratat de matematică al lui Nicolas Bourbaki, pentru a semnala „cotiturile periculoase“ ale subtilităţilor de raţionament care urmează în text şi care cer o vigilenţă deosebită. De acest fel sunt locurile în care, cu predilecţie, matematicienii pot greşi.
Faptul că exemplele pe care le voi da sunt din matematică, din logică, din lingvistică, din informatică se explică în primul rând prin familiaritatea mea cu aceste domenii. Dar mai este şi faptul, deloc neglijabil, că în matematică şi în disciplinele conexe distincţia dintre greşeală şi corectitudine este mai clară decât în orice alte domenii. Aici nu se poate confunda greşeala cu diferenţa de impresie, de opinie sau de punct de vedere. Se joacă „cu cărţile pe masă“, cum observa matematicianul Iuri Manin, într-o altă ordine de idei. Dar ar fi un exerciţiu intelectual de mare interes testarea consideraţiilor de faţă în alte domenii.
Greşeala lui Arhimede
Nu există un simbol mai clar al perfecţiunii, al armoniei şi al simplităţii decât cercul şi sfera. Prezente în mai toate tradiţiile culturale, ele au fascinat pe artişti şi pe savanţi. Vechii greci (şi poate şi alte civilizaţii înaintea lor) au descoperit un fapt uimitor: toate cercurile, deci nu numai cele observabile, ci şi cele numai imaginabile, dar şi cele numai posibile, însă situate dincolo de imaginaţia umană, au o proprietate comună: raportul dintre lungimea şi diametrul lor este acelaşi pentru oricare dintre ele. Această valoare care simbolizează universalitatea circularităţii a fost notată, începând cu secolul al XVIII-lea, cu litera grecească π, număr care intervine în exprimarea tuturor parametrilor fundamentali ai cercului şi sferei, ai cilindrului şi conului.
În aceste condiţii, era de aşteptat ca stabilirea valorii lui π să devină o preocupare importantă. În tratatul său Măsura cercului, Arhimede propune pe 3,1416 ca valoare aproximativă a lui π. A trebuit să treacă multă vreme pentru ca să se descopere că Arhimede se înşelase asupra cifrei de pe locul 4, după virgulă: nu era 6. Greşeala lui Arhimede a stimulat cercetarea zecimalelor succesive din aproximarea lui π. Importanţa acestei goane după zecimalele lui π a crescut considerabil atunci când, în secolul al XVIII-lea, s-a aflat că π este un număr iraţional, deci că dezvoltarea sa zecimală este infinită şi neperiodică. Nu demult, se ajunsese la cunoaşterea a sute de milioane de zecimale ale lui π, dar din când în când se descoperă greşeli în evaluările anterioare. De exemplu, progresul metodelor de evaluare i-a permis lui D.F. Ferguson să descopere în 1945 că, dintre cele 607 zecimale ale lui π propuse de W. Shanke în 1853, cifrele începând cu rangul 527 erau toate greşite. Greşeala a fost mereu un stimulent de a descoperi metode tot mai bune de aproximare a lui π.
Greşeala lui Cantor
Mii de ani considerat inaccesibil minţii umane, infinitul actual a devenit obiectul sistematic de studiu al lui Georg Cantor, în ultima parte a secolului al XIX-lea. În lucrările sale de pionierat (care i-au împărţit pe matematicieni în două tabere, unii, ca Dedekind şi Hilbert, admirându-le, alţii, ca Kronecker şi Poincaré, respingându-le) privind teoria numerelor cardinale transfinite şi a celor ordinale transfinite, Cantor a comis o infracţiune chiar în modul de definire a numărului cardinal, mod care implica un cerc vicios (Frege căzuse şi el în aceeaşi capcană). Abia ulterior această situaţie a fost corectată. Dialogul lui Cantor cu Vaticanul rămâne un exemplu de interacţiune interesantă a ştiinţei cu teologia. Inexistenţa unui cel mai mare număr cardinal transfinit a surprins prin caracterul ei insolit.
Greşeala lui Hilbert
Putem transfera ideea de consecutivitate de la numere naturale la numere cardinale transfinite? Admiţând că numărabilul are, în lumea transfinită, rolul lui zero în domeniul numerelor naturale, care este numărul cardinal transfinit următor numărabilului? Aceasta este faimoasa problemă a continuului, prima pe lista de 23 de probleme formulate de David Hilbert în urmă cu peste o sută de ani. Nu s-a găsit încă răspunsul la ea. Hilbert a crezut că l-a găsit şi l-a publicat în 1926, dar se înşelase, după cum a arătat Gustave Choquet în 1945. Dar, prin greşeala sa, Hilbert l-a stimulat pe Paul Cohen, care, la începutul anilor ’60 ai secolului trecut, provocat şi de un rezultat anterior al lui Kurt Gödel (din 1939), a stabilit o teoremă care, împreună cu aceea a lui Gödel, implica independenţa ipotezei conform căreia între numărabil şi continuu nu există un număr cardinal intermediar. Prima problemă a lui Hilbert rămâne în continuare o provocare: se va putea reorganiza axiomatic teoria mulţimilor astfel încât la întrebarea „există un număr cardinal transfinit cuprins strict între numărabil şi continuu?“ să se poată răspunde prin da sau nu?
Greşeli la cei care au marcat informatica
şi lingvistica: Turing şi Chomsky
Părintele calculatoarelor electronice, Alan M. Turing, şi-a lansat proiectul printr-un articol de pionierat din 1936–1937, în Proceedings of the London Math. Society, dar a revenit imediat cu o corectare esenţială, într-un număr următor al aceleiaşi reviste.
Părintele gramaticilor generative, Noam Chomsky, şi-a lansat proiectul care avea să marcheze lingvistica şi informatica printr-un articol din 1956, dar, în ciuda caracterului său de pionierat, acest articol abundă în greşeli sintactice şi semantice, unele benigne, altele maligne, dar care nu afectau provocarea majoră pe care o lansa autorul: trecerea de la o lingvistică descriptivă şi analitică, axată pe structură, la una generativă, axată pe competenţă. Chomsky punea atunci bazele teoriei
limbajelor de programare la calculator. A fost nevoie de 17 ani pentru corectarea greşelilor sintactice ale lui Chomsky; acest efort a avut nevoie de 17 ani şi a culminat cu monografia Formal Languages a lui Arto Salomaa (1973). Dar rămâneau greşelile semantice, privind modul de interpretare, pentru limbaje naturale, a noţiunilor din teoria generativă, elaborată pentru limbaje formale. Acestea au fost detectate abia în anii ’80, iar controversele în jurul lor sunt încă vii. Dar, independent de evoluţia ulterioară a acestor controverse, efectul lor benefic pentru cunoaşterea mai profundă a limbajului natural este incontestabil.
Unde dai şi unde crapă: de la problema lui Fermat la chimie şi filosofie
Ernst Kummer (secolul al XIX-lea) a eşuat în încercarea sa de a rezolva problema lui Fermat. Dar cât de bine inspirat a fost eşecul său! Pe parcursul demersului său lipsit de succes, Kummer a introdus un concept care s-a dovedit esenţial în teoria numerelor, cel de număr ideal, şi în algebră: ideal într-un inel. Dar efectul conceptului lui Kummer s-a manifestat şi dincolo de matematică: la 5 aprilie 1928, Harris Hancock, de la Universitatea din Cincinnati, prezintă la Secţiunea din Ohio a Asociaţiei de Matematică a Americii o comunicare cu un titlu de o semnificaţie surprinzătoare: „The Analogy of the Theory of Kummer’s Ideal Numbers with Chemistry and its Prototype in Plato’s Concept of Idea and Number“. Pe de altă parte, chiar cel care a reuşit, relativ recent, să demonstreze teorema lui Fermat, Andrew Wiles, a fost, în prima sa tentativă, victima unei greşeli, dar efortul de a o corecta a fost pe deplin răsplătit: varianta finală, deci cea corectă, a demonstraţiei a fost mai simplă decât cea iniţială. Din nou, greşeala s-a dovedit a fi fecundă.
Încercând să înlăture o greşeală,
Poincaré a creat ştiinţa haosului
La a 60-a aniversare a Regelui Oscar al Suediei şi Norvegiei s-a organizat o competiţie la care Henri Poincaré a candidat cu un memoriu propus pentru publicare în revista scandinavă Acta Mathematica, având ca temă faimoasa problemă a celor trei corpuri (cum se mişcă trei corpuri aflate în interacţie gravitaţională mutuală, cum ar fi Soarele, Pământul şi Luna?), problemă încă nerezolvată. Poincaré câştigă competiţia, lucrarea sa intră la tipar, dar chiar în timpul procesului de tipărire matematicianul suedez Phragmen identifică în manuscrisul lui Poincaré o greşeală destul de gravă. I-o semnalează lui Poincaré, care se dedică imediat încercării de înlăturare a respectivei lacune. Între timp se şi tipărise un prim tiraj al acelui număr din Acta Mathematica, dar Poincaré a cerut să nu fie difuzat. După multă trudă, el reuşeşte să elimine greşeala, dar răsplata i-a fost pe măsură: noua versiune constituia actul de naştere a ceea ce numim azi teoria haosului. Poincaré a plătit din propriul buzunar retipărirea cu versiunea corectă a numărului respectiv din Acta Mathematica. A costat, dar merita! Toate acestea se întâmplau spre sfârşitul secolului al XIX-lea.
Geometria fractală şi păcatele începutului
În anii ’70, Benoît Mandelbrot publica lucrarea sa de pionierat, The Fractal Geometry of Nature, unde se propunea o alternativă la geometria tradiţională, bazată pe idealul de frumuseţe al Greciei antice, asociat cu simplitatea, simetria şi armonia. Renaşterea a preluat şi ea acest ideal de frumuseţe. Figurile geometrice regulate au fost astfel plasate în centrul atenţiei. Simetriile hexagonale ale cristalelor au fost asociate cu lumea inertă, iar cele pentagonale au devenit reprezentative pentru lumea vie.
Secolul al XIX-lea a marcat o modificare, de exemplu, prin Florile răului de Charles Baudelaire, în poezie (a se vedea, ulterior, în poezia românească, Flori de mucigai de Tudor Arghezi), şi prin mulţimile şi funcţiile „urâte“, în sensul că reprezentările lor vizuale se derogau de la dezideratul tradiţional de simplitate şi de regularitate sau, mai grav, se sustrăgeau, pur şi simplu, oricărei reprezentări vizuale. Aici se plasează graficele funcţiilor continue, dar fără derivată (Karl Weierstrass) sau curbele care umplu un pătrat (Giuseppe Peano). Unii matematicieni ai secolului al XIX-lea, precum Charles Hermite, respingeau aceste obiecte, plasându-le în afara teritoriului matematicii, sub motivul că ele nu ar corespunde lumii reale. Geometria fractală propusă de Mandelbrot argumentează în mod convingător că numeroase obiecte, de la nori la fulgii de zăpadă şi de la coastele oceanelor la mişcarea browniană, tocmai de astfel de modele matematice au nevoie. Dar marea surpriză o constituie faptul că definiţia propusă iniţial pentru obiectele fractale, care lua drept criteriu de fractalitate natura dimensiunii lor, căreia i se cerea să nu fie exprimabilă printr-un număr întreg, era ulterior înlocuită cu o alta, în care accentul cade pe proprietatea de auto-similaritate a obiectelor fractale. De această dată nu mai este vorba de o greşeală de raţionament, ci de o ezitare de natură conceptuală – fapt care se poate accepta atunci când, ca aici, o teorie se află la primii săi paşi. Deocamdată, deci, nu există un consens în această privinţă.
Cuvântul fractal este o invenţie a lui Mandelbrot, care l-a format după latinescul fractus. Aplicaţiile geometriei fractale sunt dintre cele mai neaşteptate, de exemplu în domeniul finanţelor. Unii aşteaptă ca Mandelbrot să primească Premiul Nobel pentru economie.
Cum ar putea fi stearpă corectitudinea?
La prima vedere, nu i se poate reproşa nimic corectitudinii. În numeroase cazuri, poate că în cele mai multe, corectitudinea, înţeleasă ca respectare a unor reguli prestabilite (ele pot fi reguli explicite sau implicite de comportament social, reguli gramaticale, reguli de raţionament etc.), este necesară, iar educarea ei este unul dintre principalele atribute ale şcolii. Dar corectitudinea ţine numai de igiena vieţii sociale, numai de igiena exprimării, numai de igiena gândirii noastre. Ea, corectitudinea, nu este aceea care constituie carnea, fondul vieţii noastre, acestea din urmă având nevoie de semnificaţii, de idei, de spiritualitate, de afectivitate, de valori morale şi estetice. Acestea sunt hrana, în absenţa căreia putem muri de foame, în condiţiile celor mai perfecte norme de igienă. Numai că semnificaţiile, ideile, spiritualitatea, afectivitatea, valorile morale sau estetice nu pot fi supuse unor reguli de tipul acelora care guvernează corectitudinea de orice fel. Baremurile folosite la evaluarea celor care au de trecut diverse examene se prevalează de ceea ce este reglementat, pentru a obţine obiectivitatea şi comoditatea evaluărilor. Se ajunge astfel de multe ori, aşa cum se poate vedea, de exemplu, în numeroase manuale şcolare, la proliferarea corectitudinii sterpe, adică fără acoperire semantică.
Am observat că de multe ori mari idei, texte care deschid drumuri noi, conţin greşeli, dar nu atât de grave încât să anuleze sau măcar să micşoreze caracterul de pionierat al ideilor respective. Dimpotrivă, aceste greşeli apar ca un ingredient aproape inevitabil al noutăţii propuse. Explicaţia ar fi următoarea: o idee de o mare noutate comportă, în prezentarea ei, o anumită stângăcie, o dificultate de limbaj, o tatonare, o nesiguranţă şi, deci, o ezitare, acestea confiscă atenţia autorului şi, ca urmare, apar greşeli în partea care beneficiază mai puţin sau deloc de atenţie.
Un alt fenomen, dar strâns legat de cel de mai sus, pe care ne propunem să-l ilustrăm este capacitatea unor greşeli de a ascunde adevărate mine de aur, în sensul că acolo unde ele se produc se află, potenţial, punctul de plecare al unor noi drumuri interesante, al unor noi domenii sau noi importante rezultate.
In aceeasi sectiune
Faptul că exemplele pe care le voi da sunt din matematică, din logică, din lingvistică, din informatică se explică în primul rând prin familiaritatea mea cu aceste domenii. Dar mai este şi faptul, deloc neglijabil, că în matematică şi în disciplinele conexe distincţia dintre greşeală şi corectitudine este mai clară decât în orice alte domenii. Aici nu se poate confunda greşeala cu diferenţa de impresie, de opinie sau de punct de vedere. Se joacă „cu cărţile pe masă“, cum observa matematicianul Iuri Manin, într-o altă ordine de idei. Dar ar fi un exerciţiu intelectual de mare interes testarea consideraţiilor de faţă în alte domenii.
Greşeala lui Arhimede
Nu există un simbol mai clar al perfecţiunii, al armoniei şi al simplităţii decât cercul şi sfera. Prezente în mai toate tradiţiile culturale, ele au fascinat pe artişti şi pe savanţi. Vechii greci (şi poate şi alte civilizaţii înaintea lor) au descoperit un fapt uimitor: toate cercurile, deci nu numai cele observabile, ci şi cele numai imaginabile, dar şi cele numai posibile, însă situate dincolo de imaginaţia umană, au o proprietate comună: raportul dintre lungimea şi diametrul lor este acelaşi pentru oricare dintre ele. Această valoare care simbolizează universalitatea circularităţii a fost notată, începând cu secolul al XVIII-lea, cu litera grecească π, număr care intervine în exprimarea tuturor parametrilor fundamentali ai cercului şi sferei, ai cilindrului şi conului.
În aceste condiţii, era de aşteptat ca stabilirea valorii lui π să devină o preocupare importantă. În tratatul său Măsura cercului, Arhimede propune pe 3,1416 ca valoare aproximativă a lui π. A trebuit să treacă multă vreme pentru ca să se descopere că Arhimede se înşelase asupra cifrei de pe locul 4, după virgulă: nu era 6. Greşeala lui Arhimede a stimulat cercetarea zecimalelor succesive din aproximarea lui π. Importanţa acestei goane după zecimalele lui π a crescut considerabil atunci când, în secolul al XVIII-lea, s-a aflat că π este un număr iraţional, deci că dezvoltarea sa zecimală este infinită şi neperiodică. Nu demult, se ajunsese la cunoaşterea a sute de milioane de zecimale ale lui π, dar din când în când se descoperă greşeli în evaluările anterioare. De exemplu, progresul metodelor de evaluare i-a permis lui D.F. Ferguson să descopere în 1945 că, dintre cele 607 zecimale ale lui π propuse de W. Shanke în 1853, cifrele începând cu rangul 527 erau toate greşite. Greşeala a fost mereu un stimulent de a descoperi metode tot mai bune de aproximare a lui π.
Greşeala lui Cantor
Mii de ani considerat inaccesibil minţii umane, infinitul actual a devenit obiectul sistematic de studiu al lui Georg Cantor, în ultima parte a secolului al XIX-lea. În lucrările sale de pionierat (care i-au împărţit pe matematicieni în două tabere, unii, ca Dedekind şi Hilbert, admirându-le, alţii, ca Kronecker şi Poincaré, respingându-le) privind teoria numerelor cardinale transfinite şi a celor ordinale transfinite, Cantor a comis o infracţiune chiar în modul de definire a numărului cardinal, mod care implica un cerc vicios (Frege căzuse şi el în aceeaşi capcană). Abia ulterior această situaţie a fost corectată. Dialogul lui Cantor cu Vaticanul rămâne un exemplu de interacţiune interesantă a ştiinţei cu teologia. Inexistenţa unui cel mai mare număr cardinal transfinit a surprins prin caracterul ei insolit.
Greşeala lui Hilbert
Putem transfera ideea de consecutivitate de la numere naturale la numere cardinale transfinite? Admiţând că numărabilul are, în lumea transfinită, rolul lui zero în domeniul numerelor naturale, care este numărul cardinal transfinit următor numărabilului? Aceasta este faimoasa problemă a continuului, prima pe lista de 23 de probleme formulate de David Hilbert în urmă cu peste o sută de ani. Nu s-a găsit încă răspunsul la ea. Hilbert a crezut că l-a găsit şi l-a publicat în 1926, dar se înşelase, după cum a arătat Gustave Choquet în 1945. Dar, prin greşeala sa, Hilbert l-a stimulat pe Paul Cohen, care, la începutul anilor ’60 ai secolului trecut, provocat şi de un rezultat anterior al lui Kurt Gödel (din 1939), a stabilit o teoremă care, împreună cu aceea a lui Gödel, implica independenţa ipotezei conform căreia între numărabil şi continuu nu există un număr cardinal intermediar. Prima problemă a lui Hilbert rămâne în continuare o provocare: se va putea reorganiza axiomatic teoria mulţimilor astfel încât la întrebarea „există un număr cardinal transfinit cuprins strict între numărabil şi continuu?“ să se poată răspunde prin da sau nu?
Greşeli la cei care au marcat informatica
şi lingvistica: Turing şi Chomsky
Părintele calculatoarelor electronice, Alan M. Turing, şi-a lansat proiectul printr-un articol de pionierat din 1936–1937, în Proceedings of the London Math. Society, dar a revenit imediat cu o corectare esenţială, într-un număr următor al aceleiaşi reviste.
Părintele gramaticilor generative, Noam Chomsky, şi-a lansat proiectul care avea să marcheze lingvistica şi informatica printr-un articol din 1956, dar, în ciuda caracterului său de pionierat, acest articol abundă în greşeli sintactice şi semantice, unele benigne, altele maligne, dar care nu afectau provocarea majoră pe care o lansa autorul: trecerea de la o lingvistică descriptivă şi analitică, axată pe structură, la una generativă, axată pe competenţă. Chomsky punea atunci bazele teoriei
limbajelor de programare la calculator. A fost nevoie de 17 ani pentru corectarea greşelilor sintactice ale lui Chomsky; acest efort a avut nevoie de 17 ani şi a culminat cu monografia Formal Languages a lui Arto Salomaa (1973). Dar rămâneau greşelile semantice, privind modul de interpretare, pentru limbaje naturale, a noţiunilor din teoria generativă, elaborată pentru limbaje formale. Acestea au fost detectate abia în anii ’80, iar controversele în jurul lor sunt încă vii. Dar, independent de evoluţia ulterioară a acestor controverse, efectul lor benefic pentru cunoaşterea mai profundă a limbajului natural este incontestabil.
Unde dai şi unde crapă: de la problema lui Fermat la chimie şi filosofie
Ernst Kummer (secolul al XIX-lea) a eşuat în încercarea sa de a rezolva problema lui Fermat. Dar cât de bine inspirat a fost eşecul său! Pe parcursul demersului său lipsit de succes, Kummer a introdus un concept care s-a dovedit esenţial în teoria numerelor, cel de număr ideal, şi în algebră: ideal într-un inel. Dar efectul conceptului lui Kummer s-a manifestat şi dincolo de matematică: la 5 aprilie 1928, Harris Hancock, de la Universitatea din Cincinnati, prezintă la Secţiunea din Ohio a Asociaţiei de Matematică a Americii o comunicare cu un titlu de o semnificaţie surprinzătoare: „The Analogy of the Theory of Kummer’s Ideal Numbers with Chemistry and its Prototype in Plato’s Concept of Idea and Number“. Pe de altă parte, chiar cel care a reuşit, relativ recent, să demonstreze teorema lui Fermat, Andrew Wiles, a fost, în prima sa tentativă, victima unei greşeli, dar efortul de a o corecta a fost pe deplin răsplătit: varianta finală, deci cea corectă, a demonstraţiei a fost mai simplă decât cea iniţială. Din nou, greşeala s-a dovedit a fi fecundă.
Încercând să înlăture o greşeală,
Poincaré a creat ştiinţa haosului
La a 60-a aniversare a Regelui Oscar al Suediei şi Norvegiei s-a organizat o competiţie la care Henri Poincaré a candidat cu un memoriu propus pentru publicare în revista scandinavă Acta Mathematica, având ca temă faimoasa problemă a celor trei corpuri (cum se mişcă trei corpuri aflate în interacţie gravitaţională mutuală, cum ar fi Soarele, Pământul şi Luna?), problemă încă nerezolvată. Poincaré câştigă competiţia, lucrarea sa intră la tipar, dar chiar în timpul procesului de tipărire matematicianul suedez Phragmen identifică în manuscrisul lui Poincaré o greşeală destul de gravă. I-o semnalează lui Poincaré, care se dedică imediat încercării de înlăturare a respectivei lacune. Între timp se şi tipărise un prim tiraj al acelui număr din Acta Mathematica, dar Poincaré a cerut să nu fie difuzat. După multă trudă, el reuşeşte să elimine greşeala, dar răsplata i-a fost pe măsură: noua versiune constituia actul de naştere a ceea ce numim azi teoria haosului. Poincaré a plătit din propriul buzunar retipărirea cu versiunea corectă a numărului respectiv din Acta Mathematica. A costat, dar merita! Toate acestea se întâmplau spre sfârşitul secolului al XIX-lea.
Geometria fractală şi păcatele începutului
În anii ’70, Benoît Mandelbrot publica lucrarea sa de pionierat, The Fractal Geometry of Nature, unde se propunea o alternativă la geometria tradiţională, bazată pe idealul de frumuseţe al Greciei antice, asociat cu simplitatea, simetria şi armonia. Renaşterea a preluat şi ea acest ideal de frumuseţe. Figurile geometrice regulate au fost astfel plasate în centrul atenţiei. Simetriile hexagonale ale cristalelor au fost asociate cu lumea inertă, iar cele pentagonale au devenit reprezentative pentru lumea vie.
Secolul al XIX-lea a marcat o modificare, de exemplu, prin Florile răului de Charles Baudelaire, în poezie (a se vedea, ulterior, în poezia românească, Flori de mucigai de Tudor Arghezi), şi prin mulţimile şi funcţiile „urâte“, în sensul că reprezentările lor vizuale se derogau de la dezideratul tradiţional de simplitate şi de regularitate sau, mai grav, se sustrăgeau, pur şi simplu, oricărei reprezentări vizuale. Aici se plasează graficele funcţiilor continue, dar fără derivată (Karl Weierstrass) sau curbele care umplu un pătrat (Giuseppe Peano). Unii matematicieni ai secolului al XIX-lea, precum Charles Hermite, respingeau aceste obiecte, plasându-le în afara teritoriului matematicii, sub motivul că ele nu ar corespunde lumii reale. Geometria fractală propusă de Mandelbrot argumentează în mod convingător că numeroase obiecte, de la nori la fulgii de zăpadă şi de la coastele oceanelor la mişcarea browniană, tocmai de astfel de modele matematice au nevoie. Dar marea surpriză o constituie faptul că definiţia propusă iniţial pentru obiectele fractale, care lua drept criteriu de fractalitate natura dimensiunii lor, căreia i se cerea să nu fie exprimabilă printr-un număr întreg, era ulterior înlocuită cu o alta, în care accentul cade pe proprietatea de auto-similaritate a obiectelor fractale. De această dată nu mai este vorba de o greşeală de raţionament, ci de o ezitare de natură conceptuală – fapt care se poate accepta atunci când, ca aici, o teorie se află la primii săi paşi. Deocamdată, deci, nu există un consens în această privinţă.
Cuvântul fractal este o invenţie a lui Mandelbrot, care l-a format după latinescul fractus. Aplicaţiile geometriei fractale sunt dintre cele mai neaşteptate, de exemplu în domeniul finanţelor. Unii aşteaptă ca Mandelbrot să primească Premiul Nobel pentru economie.
Cum ar putea fi stearpă corectitudinea?
La prima vedere, nu i se poate reproşa nimic corectitudinii. În numeroase cazuri, poate că în cele mai multe, corectitudinea, înţeleasă ca respectare a unor reguli prestabilite (ele pot fi reguli explicite sau implicite de comportament social, reguli gramaticale, reguli de raţionament etc.), este necesară, iar educarea ei este unul dintre principalele atribute ale şcolii. Dar corectitudinea ţine numai de igiena vieţii sociale, numai de igiena exprimării, numai de igiena gândirii noastre. Ea, corectitudinea, nu este aceea care constituie carnea, fondul vieţii noastre, acestea din urmă având nevoie de semnificaţii, de idei, de spiritualitate, de afectivitate, de valori morale şi estetice. Acestea sunt hrana, în absenţa căreia putem muri de foame, în condiţiile celor mai perfecte norme de igienă. Numai că semnificaţiile, ideile, spiritualitatea, afectivitatea, valorile morale sau estetice nu pot fi supuse unor reguli de tipul acelora care guvernează corectitudinea de orice fel. Baremurile folosite la evaluarea celor care au de trecut diverse examene se prevalează de ceea ce este reglementat, pentru a obţine obiectivitatea şi comoditatea evaluărilor. Se ajunge astfel de multe ori, aşa cum se poate vedea, de exemplu, în numeroase manuale şcolare, la proliferarea corectitudinii sterpe, adică fără acoperire semantică.
